Rysunki utworzono za pomocą programu C.a.R. Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
Kwadrat w trójkącie zazwyczaj spotykamy w położeniu takim, jak na poniższym rysunku. Jego jeden bok jest zawarty w jednym boku trójkąta, a pozostałe dwa wierzchołki leżą na pozostałych dwóch bokach trójkąta.
Można łatwo wyznaczyć długość x boku takiego kwadratu leżącego w trójkącie równobocznym o boku a.
Wskazówka 1. Wystarczy zapisać podobieństwo trójkątów ABC i LMC.
Wskazówka 2. Niech h oznacza wysokość trójkąta ABC opuszczoną z C.
Jaka jest wysokość trójkąta LMC opuszczona z C?
Odpowiedź.
x = ah / (a+h) = ...
= a(2 - 3) .
Trudniejszym zadaniem jest wyznaczenie tak położonego kwadratu. Podaj konstrukcję kwadratu leżącego w trójkącie w opisany wyżej sposób.
Odpowiedź.
Przedstawimy nietypową konstrukcję.
Uczniowie mogą jednak zadać
Kłopotliwe pytanie 1. Czy kwadrat leżący w ten sposób w trójkącie równobocznym jest największym z kwadratów w nim zawartych?
Odpowiedź?
Poniższe rozumowanie pokazuje, że jeśli prostokąt KLMN leży w (dowolnym) trójkącie ABC tak, że żaden z boków nie zawiera się w obwodzie trójkąta, to ten prostokąt nie jest największym z możliwych.
Można prostokąt KLMN nieco obrócić wokół punktu S
(będącego przecięciem prostopadłych do boków w punktach K i L). Po takim małym obrocie w odpowiednią stronę (w którą? od czego to zależy?) wszystkie wierzchołki leżą we wnętrzu trójkąta.
Zatem ten obrócony prostokąt K'L'M'N' można jeszcze nieco powiększyć w obrębie trójkąta.
Powyższe rozumowanie dawałoby kompletne uzasadnienie pozytywnej odpowiedzi na kłopotliwe pytanie 1, gdybyśmy wiedzieli, że
wśród kwadratów zawartych w danym trójkącie
istnieje kwadrat o największym boku.
Pojęcie zwartości poznawane na studiach matematycznych daje krótką argumentację. Ale jak to opowiedzieć w szkole?
Trudna sprawa, kłopotliwe pytanie.
(Nie roztrząsam tutaj tego problemu. Gdy uczeń tak zapyta, odpowiem mu... na przerwie.)
Kłopotliwe pytanie 2. Czy w każdym trójkącie największy kwadrat w nim zawarty ma wszystkie wierzchołki leżące na obwodzie trójkąta?
Wskazówka
Nie.
Odpowiedź
Patrz.
Kłopotliwe pytanie 3. Czy kwadrat leżący w opisany wyżej sposób w trójkącie równobocznym ma największe pole spośród wszystkich prostokątów zawartych w tym trójkącie?
Podczas wakacji rozgrywane są olimpiady międzynarodowe: Matema-tyczna w Australii, Informatyczna w Boliwii, Lingwistyczna na Tajwanie, Sztucznej Inteligencji w Chinach.
Czy podczas wakacyjnych wędrówek odkryliście jakąś atrakcję turystyczną związaną z matematyką? Pomnik, tablicę pamiątkową, kawiarnię, w której sformułowano słynne twierdzenie, ławeczkę z wyciętym wzorem, miejsce urodzenia, dom rodzinny lub grób jakiegoś znanego matematyka? Napiszcie, prześlijcie zdjęcie oraz lokalizację na adres mikolaj@math.uni.wroc.pl. Opublikujemy Wasz tekst na Portalu, aby i inni mogli to miejsce odwiedzić!
Zagadka miesiąca
Co to za matematyk?
Bohater miesiąca
Matematyk przedstawiony w zagadce powyżej był bliskim przyjacielem sir Isaaka Newtona, zręcznym menadże-rem kopalni ołowiu, wynalazcą, jednym z ojców rewolucji przemysło-wej w Szkocji. Od jego nazwiska nazwano silnik, liczby oraz wzór.
Arcydzieło miesiąca
A ten gustowny czajnik do herbaty otrzymał od władz pewnego szkockiego miasta. Jest to (jak głosi grawerunek): A compliment made by the Town Council of Glasgow to X - mathematician - for his services, pains, and trouble in surveying the River towards deepening it by locks. 1st July 1752 Czajnik jest do dziś własnością rodziny. Jego koszt (co skrupulatnie odnotował skarbnik miasta) wyniósł £28, 4s. 4d. Czyli ile? Prezent został sfinansowany z pier-wszej raty kredytu, jaki w wysokości 10 mln. funtów miasto zaciągnęło na budowę portu morskiego (co wyma-gało m.in. pogłębienia rzeki Clyde).
- 3) . 
