Zad. 1. Rozwiąż równanie z niewiadomą x w liczbach rzeczywistych ||||x–1|–2|–3|–4| = 0.
Zad. 2. Niech P jest wielomianem. Udowodnij, że jeżeli P(x) [tex]neq[/tex] x, to wielomian P(P(P(x)))–x jest podzielny przez P(x)–x.
Zad. 3. Znajdź wszystkie wielomiany F spełniające warunek xF(x–1) = (x–2)F(x).
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 24 pkt - Hanna Osajda (III LO, Wrocław)
- 16 pkt - Igor Sudyka (V LO, Kraków).
Zad. 1. Skoro ||||x–1|–2|–3|–4| = 0, to |||x–1|–2|–3| = 4. Stąd ||x–1|–2| = 7 lub ||x–1|–2|= -1. Druga równość nie ma rozwiązania, zatem wiemy, że ||x–1|–2| = 7, a co za tym idzie, |x–1|= 9 lub |x–1| = -5. Druga równość znowu nie ma rozwiązania, więc |x–1| = 9. Łatwo widać, że równanie jest spełnione przez liczby 10 i -8.
Zad. 2. Zacznijmy od lematu: Dla dowolnych wielomianów A, B, Q zachodzi:
A(x)–B(x) | Q(A(x))–Q(B(x)).
Dowód: Q(x) = a0 + a1x + ... + akxk dla pewnych liczb rzeczywistych a0, a1, ..., ak. Zauważmy, że Q(A(x))–Q(B(x)) = a1(A(x)–B(x)) + a2(A(x)2–B(x)2) + ... + ak(A(x)k–B(x)k). Każdy nawias (A(x)i–B(x)i) jest podzielny przez A(x)–B(x), co widać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę potęg. Zatem A(x)–B(x) | Q(A(x))–Q(B(x)).
Wracając do zadania, mamy P(P(P(x)))–x = P(P(P(x)))–P(P(x))+P(P(x))–P(x)+P(x)–x. Zastosujmy teraz lemat dla A(x) = P(x), B(x) = x i Q(x) = P(P(x)). Mamy P(x)–x | P(P(P(x)))–P(P(x)). Potem bierzemy te same A i B oraz Q = P(x). Mamy P(x)–x | P(P(x))–P(x). Zatem P(x)–x | P(P(P(x)))–x.
Zad. 3. Zauważmy, że wielomian F ma miejsca zerowe w 0 oraz w 1. Wstawiając x=0, mamy 0 = -2F(0), natomiast wstawiając x=1, otrzymujemy F(0) = -F(1), czyli F(0) = F(1) = 0. Wiemy zatem, że wielomian F zapisuje się jako F(x) = x(x–1)P(x) dla pewnego wielomianu P(x). Podstawiamy to do danego równania, otrzymując x(x–1)(x–2)P(x–1) = (x–2)x(x–1)P(x), a co za tym idzie, w nieskończenie wielu punktach (być może poza x równym 0, 1 i 2) mamy: P(x–1) = P(x). Jeżeli tak jest, to wielomian P(x–1)–P(x) ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, czyli musi być P(x–1)–P(x) = 0, czyli P(x–1) = P(x). Jak widać, wielomian P musi być stały, tzn P(x) = c. Funkcje spełniające równanie funkcyjne mają więc postać F(x) = cx(x–1).
