Zad. 1. Używając pewnych trzech liczb naturalnych (każdej raz), utwórz wszystkie możliwe liczby mieszane, tak aby ich suma wynosiła 20. Jakie bedą te liczby mieszane?
Zad. 2. Pan Zbigniew hoduje koty. Ma ich tyle, że gdy dodał liczby kocich ogonów, uszu i łap, otrzymał ponad 100. Gdy zaś zsumował tylko liczby ogonów i łap, otrzymał mniej niż 80. Ile kotów ma pan Zbigniew?
Zad. 3. Alan, Bartosz i Czesław budują trójkąty z patyczków. Mają do dyspozycji patyczki o długościach: 2, 4, 6, 8, 9, 10, 30, 40, 50, 60. Alan wybrał trzy patyczki tak, by obwód otrzymanego trójkąta był jak najmniejszy. Z pozostałych patyczków Bartosz wybrał 3 takie, z których mógł zbudować trójkąt o największym możliwym obwodzie. Z ostatnich czterech patyczków Czesław wybrał trzy i też zbudował trójkąt. Który patyczek został niewykorzystany?
W maju punkty zdobyli:
- 3 – Krzysztof Bednarz SP Głogów Małopolski, Maria Bogner SP Fundacji Królowej św. Jadwigi Wrocław, Kajetan Bondarewicz SP 23 Wrocław, Tomasz Cichopek SP Świebodzice, Jakub Ceynowa SP 95 Wrocław, Michał Derewecki SP 50 Wrocław, Arseniia Elkina SP 16 Wrocław, Michał Filipczak SP 44 Wrocław, Zuzanna Fita SP 44 Wrocław, Filip Fudała SP 53 Wrocław, Maria Hajgiel SP100 STO Warszawa, Stanisław Hajgiel SP100 STO Warszawa, Mateusz Jaszczyszyn SP 44 Wrocław, Kacper Jarzyński SP 13 Zielona Góra, Laura Kogut SP 9 Gliwice, Piotr Kostanek SP Mińsk Mazowiecki, Dominika Kubica SP "Płomień", Marie Łobos SP "Młody Kopernik" Wałbrzych, Sophie Łobos SP "Młody Kopernik" Wałbrzych, Oliwier Makuch SP 1 Szprotawa, Małgorzata Nowakowska SP 3 Głogów, Adam Pająk SP Raszyn, Leon Płonka SP 44 Wrocław, Natalia Rodziewicz SP Szczytno, Zofia Romiszewska SP 100 STO Warszawa, Anna Rudzińska SP 28 Warszawa, Michał Synakiewicz SP Brzoza, Dawid Szymala SP 50 Wrocław, Aleksandra Wabińska SP Żerniki Wrocławskie, Zuzanna Winiarska SP 44 Wrocław;
- 2,5 – Adam Trznadel SP 82 Wrocław;
- 2 – Sebastian Aksamit SP 16 Wrocław, Maja Bator SP 44 Wrocław, Cezary Bogacz SP Krzeptów, Mieszko Buczkowski SP 2 Ożarów Mazowiecki, Piotr Celiński SP Fundacji Królowej Świętej Jadwigi, Antoni Gałkowski SP Józefów n. Wisłą, Gabriela Gajdzis SP 8 Zielona Góra, Jakub Gil SP 44 Wrocław, Zuzanna Głowacz SP Popielów, Stanisław Góralski SP Józefów n. Wisłą, Filip Kaźmierczak SP 44 Wrocław, Kurt Kolodii SP 44 Wrocław, Alicja Lis SP 50 Wrocław, Irmina Pietroń SP Józefów n. Wisłą, Amelia Prejs SP Józefów n. Wisłą, Tymoteusz Pysz SP Żar Gliwice, Mateusz Różalski SP Józefów n. Wisłą, Wiktor Sędziak SP 28 Bielsko-Biała, Karol Sobecki SP 28 Bielsko-Biała, Franciszek Sobka SP Józefów n. Wisłą, Witold Stępień SP 1 Oleśnica, Piotr Strzelecki SP 50 Wrocław, Kalina Tułacz SP 50 Wrocław, Amelia Waindok SP 3 Dobrzeń Wielki, Liwia Wer SP Dobrzeń Wielki, Kacper Wołowiec SP 50 Wrocław, Krzysztof Wróblewski SP Bielkówko;
- 1 – Nela Bielecka SP Żerniki Wrocławskie, Antonina Szubrycht SP Dobrzeń Wielki, Ignacy Żak SP Żerniki Wrocławskie.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Mamy liczby a, b i c takie, że a<b<c. Za ich pomocą możemy utworzyć trzy liczby mieszane: ab/c, ba/c oraz ca/b, bo liczba mieszana składa się z części całkowitej i ułamka właściwego. Jeśli suma liczb mieszanych ma wynosić 20, to suma liczb a, b, c musi być równa 18 lub 19, bo z trzech ułamków właściwych spełniających a<b<c nie otrzymamy sumy większej ani równej 3. Jeżeli suma liczb a, b i c wynosi 18, to największą liczbą w tej trójce może być każda z liczb od 7 do 15. Wówczas otrzymamy następujące trójki (a, b, c): (1, 2, 15), (1, 3, 14), (1, 4, 13), (2, 3, 13), (1, 5, 12), (2, 4, 12), (1, 6, 11), (2, 5, 11), (3, 4, 11), (1, 7, 10), (2, 6, 10), (3, 5, 10), (1, 7, 9), (3, 6, 9), (4, 5, 9), (3, 7, 8), (4, 6, 8), (5, 6, 7). Natomiast jeżeli suma liczb a, b i c wynosi 19, to największą liczbą w tej trójce może być każda z liczb od 8 do 16. Wówczas otrzymamy następujące trójki (a, b, c): (1, 2, 16), (1, 3, 15), (1, 4, 14), (2, 3, 14), (1, 5, 13), (2, 4, 13), (1, 6, 12), (2, 5, 12), (3, 4, 12), (1, 7, 11), (2, 6, 11), (3, 5, 11), (1, 8, 10), (2, 7, 10), (3, 6, 10), (4, 5, 10), (2, 8, 9), (3, 7, 9), (4, 6, 9), (4,7,8) oraz (5,6,8). Suma żadnej trójki liczb mieszanych utworzonych z wymienionych trójek liczb naturalnych nie jest równa 20. Szukane liczby a, b, c nie istnieją.
Załóżmy teraz, że tworzymy liczby złożone z części całkowitej i ułamka niekoniecznie właściwego. Za pomocą różnych liczb naturalnych a, b, i c można utworzyć sześć różnych liczb tego typu (ab/c, ac/b, ba/c, bc/a, ca/b oraz cb/a). Jeśli suma tych liczb ma wynosić 20, to suma liczb a, b i c nie może przekroczyć 7, bo każda z nich zostanie użyta dwa razy jako część całkowita (czyli suma nie może przekroczyć 10), a dodatkowo wśród części ułamkowych wystąpią trzy ułamki niewłaściwe. Jest tylko jedna trójka liczb naturalnych o sumie 7, mianowicie (1, 2, 3). Wówczas szukane liczby to 12/3, 13/2, 21/3, 23/1, 31/2, 32/1.
Oba rozwiązania były oceniane na 1 pkt.
Zad. 2. Suma czterech łap, dwojga uszu i jednego ogona dla jednego kota wynosi 7. Zatem kotów jest więcej niż 100:7=142/7, czyli co najmniej 15. Suma czterech łap i jednego ogona dla jednego kota wynosi 5. Zatem liczba kotów jest mniejsza niż 80:5=16, więc co najwyżej 15. Pan Zbigniew ma 15 kotów.
Zad. 3. Najmniejszą sumę długości dają trzy najmniejsze patyczki, ale nie można z nich zbudować trójkąta, bo 2+4=6. Nie istnieje również trójkąt o bokach długości 2, 6, 8, bo 2+6=8. Istnieje natomiast trójkąt o bokach długości 4, 6, 8, gdyż 4+6>8, 4+8>6, 6+8>4. Michał wybrał zatem patyki o długościach 4, 6, 8. Dorota wybrała trzy najdłuższe patyczki 40, 50 i 60, z nich można zbudować i obwód jest trójkąta jest największy. Pozostały patyki 2, 9, 10, 30. Nie można zbudować trójkąta z patyczków długości 2, 9 i 30 lub 2, 10 i 30, lub 9, 10 i 30. Jacek wybrał, więc patyczki 2, 9 i 10. Pozostał patyczek długości 30.
To zabawny samouczek, który zaczynając się niewinnie intrygującą historyjką, krok po kroku, poczynając od najłatwiejszych łamigłówek, prowadzi nas w szpony, nie bójmy się użyć tego słowa, uzależnienia.
